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Teoría del consumidor: algunas notas sobre la demanda ordinaria y compensada.

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El análisis de las posibles decisiones de consumo de bienes y servicios que realiza un individuo, tomando en cuenta su entorno (Ingreso, precios etc..) , que maximizan su bienestar se le ha llamado teoría del consumidor.
En términos simples, la mecánica consiste en conformar dos realidades, la realidad subjetiva (preferencia) y la objetiva (precios, ingresos..), y  así obtener como resultado una situación de máxima satisfacción para el individuo.
Matemáticamente el problema que enfrenta el individuo es:

Donde U representa la “utilidad” (parte subjetiva) y g(X,Y) representa la restricción (parte objetiva).
Supongamos el siguiente caso especial:


Donde X, Y son dos bienes, I es el ingreso, P son los precios. Es muy importante remarcar que en este caso, la restricción del problema es de igualdad, sin embargo, existen casos donde la restricción está dada por una relación de desigualdad (lo que se interpreta como holgura);  por lo tanto al trabajar con restricciones de igualdad garantizamos que la misma este activa en todo momento (principio de insaciabilidad).
Utilizando la técnica del multiplicador de Lagrange obtenemos:

Luego se calculan las condiciones de primer orden (recuerde, un consejo muy sabio de un colega economista, si no sabe que hacer en un problema matemático- económico, derive e iguale a cero, en más del 80% de los casos eso funciona!!!):
CPO
Luego, recordando que la condición  óptima que buscará el individuo es

Podríamos utilizar las condiciones de primer orden para alcanzar esta condición:

Luego utilizando la tercera CPO


La demanda ordinaria también es llamada demanda marshaliana; esta demanda relaciona los precios, el ingreso y las cantidades demandadas de un bien, en este caso Y, teniendo en cuenta tanto el efecto renta como el efecto sustitución. Sí se sustituye la demanda marshaliana de Y en X obtenemos:
Tanto YM como XM, determinan la combinación óptima de (X ,Y) que maximiza la Utilidad de este individuo.
Podríamos pensar que el otro lado de la moneda, de este problema de maximización sería solucionar un problema de minimización de costos, para alcanzar una utilidad dada.
Esta Utilidad dada estaría determinada por las demandas marshalianas de ambos bienes, lo que supondría que:
 
Donde V es la Utilidad Indirecta, la cual es una utilidad fija que desea alcanzar el individuo. Para llegar a ella el individuo deberá minimizar el costo en el que incurrirá para alcanzarla.
Por lo tanto el costo mínimo en que incurrirá se obtendrá del siguiente planteamiento: si el ingreso debería ser igual al costo para alcanzar la utilidad máxima, entonces I=C, por lo tanto si V es una utilidad fija, se podría obtener a través de la Utilidad Indirecta la función de Costo Mínimo, despejando para el Ingreso.

Recordando las aplicaciones del teorema de la envolvente, también se podría obtener otro tipo de demanda para el bien X y Y, llamada la demanda compensada o Hicksiana, que se obtiene de derivar la función de costo mínimo respecto al precio del bien del cual deseamos la demanda, llamado el Lema de Shepard, como se plantea a continuación:

La demanda Hickisiana (Xh, Yh)  muestra la relación entre los precios y la utilidad máxima que debe mantenerse fija, por lo tanto el ingreso nominal o en este caso el costo  deberá variar con el fin de que esta utilidad (o curva de indiferencia) se mantenga constante en la misma posición del precio inicial.
A través del análisis de las demandas ordinarias y compensadas podemos llegar a las siguientes deducciones:
1.       “La elasticidad precio de la demanda ordinaria incluye el efecto ingreso y el efecto sustitución, mientras que la elasticidad precio de la demanda compensada sólo incluye el efecto sustitución”.

2.       “Al referirnos a la elasticidad cruzada de la demanda ordinaria, decimos que los bienes son sustitutos o complementos brutos; mientras que al referirnos a la elasticidad cruzada de la demanda compensada, decimos que los bienes son sustitutos o complementos netos”.
(Obtenido del Libro de Microeconomía Intermedia de Vial y Zurita)
 

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