Función de Producción CES (Elasticidad de Sustitución Constante)

Si entendemos por economía, como la ciencia que intenta explicar la actividad humana en términos de satisfacer necesidades infinitas a través del uso de recursos limitados; es fundamental para nosotros explicar y comprender el proceso productivo como la piedra filosofal del bienestar de las personas.

A través de modelos sencillos, como una función de producción, es como logramos explicar el proceso productivo. En esta oportunidad vamos a centrar nuestra atención en analizar una función de producción que cumple con los supuestos clásicos.

Al pensar en una función, automáticamente asociamos una relación entre variables; cuando hablamos de función de producción, relacionamos una cantidad de producto (bienes y servicios) que se elabora a través de la combinación de factores de producción (trabajo, tierra, capital …..)

La combinación de los factores de producción que se utiliza para producir una cantidad de bienes y servicios determinada, dependerá de la forma funcional que escojamos para representar el proceso mismo.

En primer lugar supondremos que únicamente tenemos dos factores de producción, trabajo (L) y capital (K). ¿Cómo podemos combinar K y L para producir? Dependerá como determinamos el proceso de producción; puede ser que necesitemos de ambos factores para producir, demandando factores dependiendo de sus costos individuales de uso, indicándonos el típico caso de una función Cobb-douglas.

Existe la posibilidad de que únicamente podamos producir usando un determinado factor u otro, pero no ambos, lo que conlleva a sospechar una perfecta sustitución entre los mismos, por lo que pensaríamos en una función lineal.

También podríamos suponer que necesitamos de una combinación o ratio fijo de K y L para producir, por lo que cualquier ratio o combinación distinta es inútil; por lo que podríamos deducir una relación de complementos perfectos (ecuación leontief).

Si tenemos estas opciones para explicar el proceso productivo a través de una función, lo más indicado sería utilizar una función que capture estas características, como la función de elasticidad de sustitución constante, o conocida como CES. Esta función tiene la ventaja de ser un caso general de una función de producción, a partir de la cual podemos obtener los casos particulares, la cual se define como:

¿Cumple la CES con los supuestos clásicos de una función de producción?, para ello comprobaremos cada uno de ellos:

1er supuesto-Rendimientos constantes a escala: Los rendimientos constantes escala están presentes en aquellas funciones de producción cuya elasticidad total es igual a 1; lo cual es sinónimo a decir que la función tenga un grado de homogeneidad igual a 1.

Para obtener el grado de homogeneidad utilizamos una variable auxiliar λ, la cual la multiplicamos por cada factor de producción:



Al despejar para λ obtenemos lo siguiente:


Luego:

Por lo tanto para que esta función tenga rendimientos constantes a escala, se tiene que cumplir que γ=1.

2do supuesto-Rendimientos marginales decrecientes respecto a un factor: para ello obtenemos la productividad marginal de cada factor:


Reordenando:

Es importante mencionar que si y solo si ρ=1 es posible obtener para una CES la siguiente conclusión :

Llamadas condiciones de INADA; con ellas se demuestran los rendimientos marginales decrecientes de cada uno de los factores. Para otros valores de ρ, como se revisará posteriormente, no se cumplen estas condiciones.

3er supuesto-los factores agotan el producto: Para que los factores agoten el producto se debe suponer que la retribución al producto marginal de un factor, deberá ser igual al costo marginal de contratar un factor es decir:

Donde W es el salario nominal y P es el nivel de precios.


Donde r es igual es la retribución al capital (similar a una tasa de interés real).

Por lo tanto:


Sin embargo como esta planteada esta expresión no es tan sencillo demostrar que los factores agotan el producto; antes de ello es importante determinar los valores de ρ, para lo cual interpretaremos la elasticidad de sustitución que resulta dela función CES.

La elasticidad de sustitución se define como la variación de las demandas de dos bienes o servicios complementarios ante variaciones en sus precios, que se define como:


Donde TST es la tasa de sustitución técnica.

Realizando los cálculos obtenemos:

Simplificando y reordenando:

Por lo tanto si ρ=0, la función converge a una cobb-douglas, si ρ=1 la función converge a una lineal y si ρ=∞ la función converge a una leontief.

Se deduce que:

si ρ=0, la CES converge a una función cobb-douglas y los factores agotan el producto:
(Aplicación regla de l'Hôpital)

si ρ=1, la CES converge a una función lineal y un solo factor puede agotar el producto:

si ρ=∞, la CES converge a una función leontief y puede que los factores agoten o no el producto:Demostración de la CES  si ρ=∞  , aporte de Tito Anibal Osorto:

Simple!

*Tomado en parte de Teoría Microeconómica de Nicholson.
** Es importante recordar que las funciones Leontief son continuas pero no derivables.